Équivalence et relations complexes - Corrigé

Énoncé

Pour tout  \(z \in \mathbb{C} \setminus \left\lbrace i \right\rbrace\) , on pose \(Z=\frac{z+i}{z-i}\) .

Montrer que :  \(Z=\overline{Z} \Longleftrightarrow \overline{z}=-z\) .

En déduire tous les nombres complexes \(z\) tels que \(Z\) soit réel.

Solution

Pour tout \(z \in \mathbb{C} \setminus \left\lbrace i \right\rbrace\) ,  \(\overline{\dfrac{z+i}{z-i}}= \dfrac{\overline{z+i}}{\overline{z-i}}= \dfrac{\overline{z}+\overline{i}}{\overline{z}-\overline{i}}= \dfrac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i}\) .

Donc,
\(Z=\overline{Z}\iff \dfrac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i} = \dfrac{z+i}{z-i}\iff \dfrac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i} - \dfrac{z+i}{z-i} =0\iff \dfrac{(\overline{z}-i)(z-i) - (z+i)(\overline{z}+i)}{(\overline{z}+i)(z-i)} = 0\) .

Or,  \((\overline{z}+i)(z-i) = i(z - \overline{z})\)

et  \((\overline{z}-i)(z-i) - (z+i)(\overline{z}+i) = -2i (z + \overline{z})\)
Donc, \(Z=\overline{Z} \iff\dfrac{ -2i (z + \overline{z}) }{ i(z - \overline{z})} = 0\iff\dfrac{ (z + \overline{z}) }{ (z - \overline{z})} = 0\)
et \(z- \overline{z} = 2i\text{ I}m(z)\) , 
donc  \(Z=\overline{Z} \iff\dfrac{ (z + \overline{z}) }{ 2i \text{Im}(z) } = 0\iff \dfrac{ i(z + \overline{z}) }{ -2 \text{Im}(z) } = 0\iff z + \overline{z}\iff \overline{z} = -z\) .
Et, en posant \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) des réels, on a \(\overline{z} = -z \iff x-iy = -x-iy\iff 2x=0 \iff x=0 \iff z\) est un nombre imaginaire pur.

Or, \(Z\) est réel si et seulement si \(\overline{Z}=Z\) si et seulement si \(z\) est un nombre imaginaire pur.